在碎形圖上行走的光子

當你在公園閒逛可能有這樣的經歷，在無意中一次又一次地遇見同一個人。發生這種情況的機會有多少？這種情況實質由波利亞數（Pólya number）的概念（由匈牙利數學家Georg Pólya (1887–1985) 提出）說明，它描述了返回到圖中起點的機率[1]。波利亞數已被證明是對不同類型的隨機（古典）和量子（非古典）行走(walk)路程進行分類的有用概念。有兩類主要的隨機行走由這個概念定義—循環（你確定地回到你行走的起點）和短暫（你不能確定返回）。

對於無限整數晶格的情況，古典行走的片刻取決於行走的維度。在古典情況下，波利亞數由一個公式定義，其中包含返回到任何時刻的起源的機率。另一方面，同一概念的量子對應物並不明顯，因為它與存在的操作意義有關。量子行走者可能以疊加態存在，為了判斷行走者是否存在於某個位置，必須進行測量，但這又會影響行走的進一步傳播[2]。由圖中所示，一個連續時間量子行走返回原點的機率反映了底層位置空間的一些全域屬性[3]。

上海的Xiao-Yun Xu及其研究團隊[4]在Nature Photonics上發表一項實驗研究，該研究探索了由最鄰近的耦合光波導晶格組成的二維 (2D) 碎形圖中的量子行走行為。光脈衝一開始在（波導的）一個點注入，並在它們通過晶格傳播時分析它們的傳播。

碎形圖案有一段悠久的歷史。在11世紀，歐洲藝術家創造了基於自相似等邊三角形的裝飾圖案[5]。具有三角形或正方形的類似碎形結構現在分別被稱為Sierpiński 墊片和地毯，如圖一所示（以波蘭數學家 Wacław Sierpiński（1882-1969）的名字命名）。也可以將這些物件視為二維晶格，其中缺少了某些晶格點。一個量子在這種晶格上行走在數學上等效於電子的緊束縛（tight-binding）模型。因此，最初定位的行走者的傳播透露出[6]底層晶格的一些傳輸特性[7]。

光波導晶格提供了一個方便的平台用來測試連續時間的量子行走：當光脈衝沿著波導傳播時，消逝波會將它耦合到一個相鄰的波導。如果耦合到更遠的波導可以忽略不計，那麼量子行走動力學即可有效地描述光子的傳播，就如同Perets及其團隊[8]第一次實驗證明的結果。Pólya數的行為已被類似的2D規則晶格技術測量。事實上在系統的位置分佈在統計上等效於單顆光子及雷射脈衝，如同在觀察六角晶格中撞擊時間的實驗中證明的那樣[10]。

 

圖一、Sierpiński墊片和地毯的構造類似光波導晶格。a. Sierpiński墊片的虛架構是基於重複三個填充三角形的簡單圖案，在頂點放置波導。b. 一個類似Sierpiński地毯的架構是基於正方形的簡單圖案。[4]

Xu和團隊的實驗基於在橫向平面中排列成格子並縱向運行的波導（見圖一）。技術上來說，實現這類型實驗的困難處在於需要根據規定的圖像結構，以均勻且與深度無關的方式製備波導。波導晶格是由直接雷射寫入製成的，是一種透過聚焦超短光脈衝改變玻璃折射率的技術。來自飛秒雷射的脈衝（重複頻率為1 MHz，中心波長為513 nm，脈衝持續時間為290 fs）通過空間光調制器（spatial light modulator, SLM）聚焦到硼矽酸鹽（borosilicate）基板上。

特別是波導尺寸和僅與最相鄰的波導耦合條件，在寫入的過程中定義了碎形結構的最小解析（resolution）。一組長度逐漸增加的波導陣列提供機會測量在動態演化上不同時間的空間光分佈。

為了表徵量子行走的傳播，對原點進行了均方距離（mean square distance, MSD）和返回機率測量。這個研究的目的是為了揭示不間斷的動態行走，與不同的長度重複的製備、傳播以及測量週期有關（轉換成量子行走的傳播時間）。循環機率的時間演化顯示了研究三種類型的碎形特徵的階梯式演化。步驟發生的時間（傳播長度）大量顯示出與理論有一致性。所有三個碎形的短期 MSD 指數縮放都可以以令人信服的精度測量。長期縮放也可以恢復與理論一致的Sierpiński 地毯（特徵指數：1.89）。

儘管有些分析考慮連續時間量子行走在分形晶格的循環特性[11]，但只有透過數值模擬才能發現一些細節，而這將會隨著圖像尺寸增加而迅速增加。Xu及他的團隊透過數值模擬驗證了實驗結果；然而對於較大的碎形來說不太可能。另一方面，現階段的系統也可以被視為具有各種缺陷的晶格結構的光學模擬器。

另一種收集初始局部量子行走信息的方法是只有在同一動態演化系統的原點應用重複位置測量[13]。根據在時間多工（time-multiplexed）光學實驗中測量了離散時間量子行走的兩種程序的循環，能清楚地證明了兩種情況之間預測的定量差異。看到更多的實驗測量來重複觀察到的連續時間量子行走循環將會很有趣[11]。

Xu以及團隊的實驗結果令人印象深刻，光子被迫行走的高度複雜的碎形結構是光波導精密製造的一項了不起的成就。對越來越大的晶格中量子行走的長期動力學的觀察，再次證實即便是不同的量子行走，也可在光子實驗中達到顯著的精確度。量子行走實驗在複雜圖像上的能力，可以加速在基於量子行走人工2D材料和算法的設計及測試。