在碎形图上行走的光子

当你在公园闲逛可能有这样的经历，在无意中一次又一次地遇见同一个人。发生这种情况的机会有多少？这种情况实质由波利亚数（Pólya number）的概念（由匈牙利数学家Georg Pólya (1887–1985) 提出）说明，它描述了返回到图中起点的机率[1]。波利亚数已被证明是对不同类型的随机（古典）和量子（非古典）行走(walk)路程进行分类的有用概念。有两类主要的随机行走由这个概念定义—循环（你确定地回到你行走的起点）和短暂（你不能确定返回）。

对于无限整数晶格的情况，古典行走的片刻取决于行走的维度。在古典情况下，波利亚数由一个公式定义，其中包含返回到任何时刻的起源的机率。另一方面，同一概念的量子对应物并不明显，因为它与存在的操作意义有关。量子行走者可能以迭加态存在，为了判断行走者是否存在于某个位置，必须进行测量，但这又会影响行走的进一步传播[2]。由图中所示，一个连续时间量子行走返回原点的机率反映了底层位置空间的一些全域属性[3]。

上海的Xiao-Yun Xu及其研究团队[4]在Nature Photonics上发表一项实验研究，该研究探索了由最邻近的耦合光波导晶格组成的二维 (2D) 碎形图中的量子行走行为。光脉冲一开始在（波导的）一个点注入，并在它们通过晶格传播时分析它们的传播。

碎形图案有一段悠久的历史。在11世纪，欧洲艺术家创造了基于自相似等边三角形的装饰图案[5]。具有三角形或正方形的类似碎形结构现在分别被称为Sierpiński 垫片和地毯，如图一所示（以波兰数学家 Wacław Sierpiński（1882-1969）的名字命名）。也可以将这些对象视为二维晶格，其中缺少了某些晶格点。一个量子在这种晶格上行走在数学上等效于电子的紧束缚（tight-binding）模型。因此，最初定位的行走者的传播透露出[6]底层晶格的一些传输特性[7]。

光波导晶格提供了一个方便的平台用来测试连续时间的量子行走：当光脉冲沿着波导传播时，消逝波会将它耦合到一个相邻的波导。如果耦合到更远的波导可以忽略不计，那么量子行走动力学即可有效地描述光子的传播，就如同Perets及其团队[8]第一次实验证明的结果。Pólya数的行为已被类似的2D规则晶格技术测量。事实上在系统的位置分布在统计上等效于单颗光子及激光脉冲，如同在观察六角晶格中撞击时间的实验中证明的那样[10]。

 

图一、Sierpiński垫片和地毯的构造类似光波导晶格。a. Sierpiński垫片的虚架构是基于重复三个填充三角形的简单图案，在顶点放置波导。b. 一个类似Sierpiński地毯的架构是基于正方形的简单图案。[4]

Xu和团队的实验基于在横向平面中排列成格子并纵向运行的波导（见图一）。技术上来说，实现这类型实验的困难处在于需要根据规定的图像结构，以均匀且与深度无关的方式制备波导。波导晶格是由直接激光写入制成的，是一种透过聚焦超短光脉冲改变玻璃折射率的技术。来自飞秒激光的脉冲（重复频率为1 MHz，中心波长为513 nm，脉冲持续时间为290 fs）通过空间光调制器（spatial light modulator, SLM）聚焦到硼硅酸盐（borosilicate）基板上。

特别是波导尺寸和仅与最相邻的波导耦合条件，在写入的过程中定义了碎形结构的最小解析（resolution）。一组长度逐渐增加的波导数组提供机会测量在动态演化上不同时间的空间光分布。

为了表征量子行走的传播，对原点进行了均方距离（mean square distance, MSD）和返回机率测量。这个研究的目的是为了揭示不间断的动态行走，与不同的长度重复的制备、传播以及测量周期有关（转换成量子行走的传播时间）。循环机率的时间演化显示了研究三种类型的碎形特征的阶梯式演化。步骤发生的时间（传播长度）大量显示出与理论有一致性。所有三个碎形的短期 MSD 指数缩放都可以以令人信服的精度测量。长期缩放也可以恢复与理论一致的Sierpiński 地毯（特征指数：1.89）。

尽管有些分析考虑连续时间量子行走在分形晶格的循环特性[11]，但只有透过数值模拟才能发现一些细节，而这将会随着图像尺寸增加而迅速增加。Xu及他的团队透过数值模拟验证了实验结果；然而对于较大的碎形来说不太可能。另一方面，现阶段的系统也可以被视为具有各种缺陷的晶格结构的光学仿真器。

另一种收集初始局部量子行走信息的方法是只有在同一动态演化系统的原点应用重复位置测量[13]。根据在时间多任务（time-multiplexed）光学实验中测量了离散时间量子行走的两种程序的循环，能清楚地证明了两种情况之间预测的定量差异。看到更多的实验测量来重复观察到的连续时间量子行走循环将会很有趣[11]。

Xu以及团队的实验结果令人印象深刻，光子被迫行走的高度复杂的碎形结构是光波导精密制造的一项了不起的成就。对越来越大的晶格中量子行走的长期动力学的观察，再次证实即便是不同的量子行走，也可在光子实验中达到显著的精确度。量子行走实验在复杂图像上的能力，可以加速在基于量子行走人工2D材料和算法的设计及测试。